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LA COLLANA DI DEMOCRITO - SOLUZIONE
G. Carboni, Settembre 1999
Rivisto in febbraio 2009
PROBLEMA
Determinare la lunghezza della fila che si può ottenere ponendo uno accanto all'altro gli atomi di un granello di sale del volume di 1 mm3.
DATI
| Densità del sale | d(NaCl) = 2,165 g/cm3 | |
| Massa atomica del sodio | M(Na) = 22,9898 g/mol | massa di una mole di sodio |
| Massa atomica del cloro | M(Cl) = 35,453 g/mol | massa di una mole di cloro |
| Numero di Avogadro | N = 6,0221 × 10 23 | Numero di atomi o di molecole che compongono una mole |
SOLUZIONE N° 1
calcolare il numero di atomi del granello in base alla densità del sale, al peso di una mole di NaCl e al numero di Avogadro.
Calcolo del numero di atomi del granello di sale:
| massa molecolare del sale | M(NaCl) = M(Na) + M(Cl) |
| M(NaCl) = 22,9898 g/mol + 35,453 g/mol | |
| M(NaCl) = 58,4428 g/mol | |
| massa del granello di sale | massagranello = d(NaCl)/1000 |
| massagranello = 2,165/1000 g | |
| massagranello = 2,165 × 10 -3 g | |
| numero di molecole presenti nel granello | n°molecole = N × massagranello/M(NaCl) |
| n°molecole = 6,0221 × 10 23 × 2,165 × 10 -3 / 58,4428 | |
| n°molecole = 2,2309 × 10 19 | |
| numero di atomi presenti nel granello | n°atomi = n°molecole × 2 |
| n°atomi = 2,2309 × 10 19 × 2 | |
| n°atomi = 4,4618 × 10 19 |
Calcolo della lunghezza della fila di atomi del granello:
| distanza di legame | dl = 1 / radice cubica del n° di atomi presenti nel granello |
| dl = 1 / radice cubica di 4,4618 x 10 19 | |
| dl = 2,8194 × 10 -7 mm | |
| dl = 2,8194 × 10 -10 m | |
| Lunghezza della collana | L = dl x n° atomi |
| L = 2,8194 × 10 -10 m ´ 4,4618 × 10 19 | |
| L = 12,58 × 10 9 m | |
| L = 12,58 × 10 6 km |
SOLUZIONE N° 2
Considerando gli atomi come delle sfere, poichè ne conosciamo il "diametro", è possibile determinare per via geometrica quante di queste sfere siano contenute in un volume di 1 mm3.
Nei cristalli di sale, gli atomi occupano i nodi di una maglia cubica. Facciamo l'ipotesi che gli atomi siano tutti della stessa dimensione. In realtà l'atomo di cloro ha il diametro doppio di quello del sodio, ma ciò non influenza il risultato. Infatti, dal momento che la distanza di legame resta la stessa, i nodi del reticolo cristallino non variano nè di posizione nè di numero.
Per applicare questo metodo, facciamo l'ipotesi che gli atomi siano del diametro D = 0,1 mm. In questo caso, la quantità di atomi presenti sarebbe pari a: 10 x 10 x 10 = 1000 e la lunghezza della fila sarebbe pari a 1000 x 0,1 = 100 mm.
Da questa considerazione possiamo ricavare la seguente formula:
L = lc/D × lc/D × lc/D × D
Da cui otteniamo: L = lc3/D2
dove lc è la lunghezza del lato del cubo (nel nostro caso pari a 1 mm) e D è il diametro medio degli atomi (pari alla distanza di legame). La frazione lc/D esprime la quantità di atomi presenti lungo un lato del cubo. Quindi, in modo molto semplice, sostituendo D con la distanza di legame degli atomi nel sale ed esprimendo tutte le dimensioni in mm, otteniamo:
| Lunghezza della collana | L = lc3/dl2 |
| L = 1/(2,8194 × 10 -7 )2 mm | |
| L = 1,258 × 10 13 mm | |
| L = 12,58 × 10 6 km |
CONCLUSIONE
La collana di Democrito è lunga 12,58 milioni di chilometri! Questa dimensione corrisponde a quasi 33 volte la distanza fra la Terra e la Luna (384.400 km). Non male come collana! Quando Democrito lo dirà a Leucippo lo stupirà sicuramente. E anch'io ne sono rimasto stupefatto. Stupefatto non solo della lunghezza della collana di Democrito, ma anche e soprattutto della dimensione degli atomi che finora non avevo mai immaginato essere tanto piccola, per non parlare del numero astronomico di atomi che compongono un granello di sale. La prossima volta che vedrete sulla tovaglia un granello di sale, tenetelo fra le vostre dita e guardatelo per qualche attimo: lo merita!
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Qualche informazione su Leucippo: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Leucippus.html
Qualche informazione su Democrito: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Democritus.html
La teoria atomica della materia:
http://www.neutron.anl.gov/leucippus.htm